Exercice 742

Calculer mesure d'un angle dans un triangle connaissant les longueurs des côtés

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Utilisation des différentes expressions du produit scalaire pour déterminer la mesure d'un angle dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés
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  1. $ABC$ est un triangle tel que $AB=8$cm et $AC=5$cm et $BC=7$cm
    Calculer $\widehat{BAC}$
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et $BC$
    Exprimer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en fonction de $cos(\widehat{BAC})$
    puis écrire une équation d'inconnue $cos(\widehat{BAC})$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=8\times 5 \times cos(\widehat{BAC})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=40 \times cos(\widehat{BAC})$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=40cos(\widehat{BAC})$


    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{8^2+5^2-7^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{40}{2}$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=20$

    Il faut donc résoudre l'équation $40cos(\widehat{BAC})=20$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} cos(\widehat{BAC})=\dfrac{20}{40}$
    $\Longleftrightarrow cos(\widehat{BAC})=\dfrac{1}{2}$
    $cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$

    $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$
  2. $ABC$ est un triangle tel que $AB=6$cm et $AC=2\sqrt{3\sqrt{2}+10}$cm et $BC=2$cm
    Calculer $\widehat{ABC}$
    Calculer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et $BC$
    Exprimer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ en fonction de $cos(\widehat{ABC})$
    puis écrire une équation d'inconnue $cos(\widehat{ABC})$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$


 
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