Exercice 743

Calculs dans un triangle-Ccontrôle avec GEOGEBRA

Contenu

Utilisation des différentes expressions du produit scalaire pour déterminer la longueur du troisième côté dans un triangle
Calcul de la mesure d'un angle dans un triangle connaissant la longueur des trois côtés
Utiliser GEOGEBRA pour contrôler les résultats

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  1. $ABC$ est un triangle tel que $AB=10$cm et $AC=6$cm et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$
    Calculer $BC$
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant les distances $AB$, $AC$ et l'angle $\widehat{BAC}$
    Utilser le rappel de cours ci dessus en calculant $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis écrire une équation d'inconnue $BC^2$ en utilisant les deux résultats obtenus pour $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=10\times 6 \times cos(\dfrac{\pi}{6})$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=60 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=30\sqrt{3}$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=30\sqrt{3}$


    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{10^2+6^2-BC^2}{2}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=\dfrac{136-BC^2}{2}$

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{136-BC^2}{2}$

    Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{136-BC^2}{2}=30\sqrt{3}$
    $\phantom{\Longleftrightarrow}136-BC^2=60\sqrt{3}$
    $\Longleftrightarrow -BC^2=60\sqrt{3}-136$
    $\Longleftrightarrow BC^2=-60\sqrt{3}+136$
    $BC$ est une longueur donc $BC=\sqrt{136-60\sqrt{3}}$

    $BC=\sqrt{136-60\sqrt{3}}$cm
  2. En déduire la valeur arrondie au dixième de degré de la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$
    Calculer le produit scalaire $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$ de deux manières différentes comme à la question 1 puis écrire une équation d'inconnue $cos(\widehat{ABC})$
    La calculatrice doit être réglée sur les unités d'angles en degrés
  3. Vérifier les calculs en construisant la figure avec GEOGEBRA et en effectuant les mesures de $BC$ puis de $\widehat{ABC}$
    Construire un segment $[AB]$ de longueur 10cm (on pourra utiliser le quadrillage et prendre 1cm pour 1 carreau)
    Placer un point à 6cm de A et tracer le cercle de centre A et de rayon 6cm
    Construire un angle de mesure donnée avec le segment $[AB]$ et de mesure 30$^0$
    Le point C est le point d'intersection du cercle et du côté de l'angle tracé précédemment
    Mesurer


 
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