Exercice 745

Calcul de l'angle formé par les diagonales d'un rectangle

Contenu

Utilisation de deux méthodes:
1. Méthode géométrique: Calcul du produit scalaire avec le projeté orthogonal puis d'un angle dans un triangle
2. Méthode analytique: Utilisation d'un repère orthonormé et calcul de l'angle formé par les diagonales

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$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6$cm et $AD=4$cm de centre $O$.
On veut calculer la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.

  1. Méthode 1: sans repère
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ puis la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$ en utilisant le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$
    Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ et en déduire celle de $\widehat{AOB}$ dans le triangle $AOB$
    $ABCD$ est un rectangle donc le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est le point $B$.
    Dans un rectangle l'angle $\widehat{BAC}$ est de mesure inférieure à $90^o$ donc $\widehat{BAC}$ est aigu


    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}>0$
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AB=AB^2=6^2=36$

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=36$


    Dans le triangle $ABC$, on a:
    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ donc on peut utiliser le théorème de pythagore:
    $AC^2=AB^2+BC^2=6^2+4^2=52$
    donc $AC=\sqrt{52}=\sqrt{4\times 13}=2\sqrt{13}$

    $AC=2\sqrt{13}$ cm

    $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times cos(\widehat{BAC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=6\times 2\sqrt{13} \times cos(\widehat{BAC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}=12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})$

    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}=12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})=36$
    On a donc l'équation suivante:
    $\phantom{\Longleftrightarrow} 12\sqrt{13} ~~ cos(\widehat{BAC})=36$
    $\Longleftrightarrow ~~ cos(\widehat{BAC})=\dfrac{36}{12\sqrt{13}}$
    $\Longleftrightarrow ~~ cos(\widehat{BAC})=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$
    donc $\widehat{BAC}=cos^{-1}\left( \dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)$
    $ABCD$ est un rectangle donc les diagonales $[AC]$ et $BD]$ sont de la même longueur et se coupent en leurs milieux
    donc le triangle $AOB$ est isocèle en $O$ et $\widehat{BAO}=\widehat{ABO}$
    $O\in [AC]$ donc $\widehat{BAC}=\widehat{BAO}$
    donc (en degrés) $\widehat{AOB}=180-2\times \widehat{BAO}=180-2\widehat{BAC}$

    soit (en degrés) $\widehat{AOB}=180-2cos^{-1}\left( \dfrac{3}{\sqrt{13}}\right)\approx 112,6^o$


    Remarque On peut contrôler le résultat avec GEOGEBRA en utilisant MESURER UN ANGLE (on peut prendre le carreau pour unité)
  2. Méthode 2: En utilisant un repère orthonormé
    On considère le repère $(A; \overrightarrow{AI}; \overrightarrow{AJ})$ avec $I\in [AB]$ et $J\in [AD]$ tels que $AI=AJ=1$cm
    Donner (sans justifier) les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $O$ dans ce repère puis calculer celles des vecteurs $ \overrightarrow{OA}$ et $ \overrightarrow{OB}$
    Calculer $OB$ puis la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
    $AB=6$cm donc $B(6;0)$

    Calculer $ \overrightarrow{OB}. \overrightarrow{OC}$ en utilisant les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{OB}$ et $ \overrightarrow{OC}$
    Calculer $OB$ et exprimer $ \overrightarrow{OA}. \overrightarrow{OB}$ en fonction de $cos(\widehat{AOB})$
    En déduire la valeur de $cos(\widehat{AOB})$ puis la mesure de $ \widehat{AOB}$


 
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