Exercice 746

Calcul d'angle dans un rectangle

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Utilisation des propriétés algébriques du produit scalaire pour montrer une égalité
Calcul de la mesure d'un angle dans triangle
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$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=8$cm et $BC=6$cm et le point $I$ est tel que $ \overrightarrow{DI}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$
  1. Montrer que $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}+AD^2$
    Décomposer $ \overrightarrow{IA}= \overrightarrow{ID}+ \overrightarrow{DA}$ et $ \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{IC}+ \overrightarrow{CB}$
    $ \overrightarrow{DI}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$ et $ABCD$ carré donc $ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AB}$
    donc $ \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$
    soit $ \overrightarrow{CI}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}- \overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}$
    $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=( \overrightarrow{ID}+ \overrightarrow{DA}).( \overrightarrow{IC}+ \overrightarrow{CB})$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}+ \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{IC}+ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{CB}$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}+(-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}). \overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{DA}.(\dfrac{3}{4} \overrightarrow{DC})+ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{CB}$

    $\phantom{ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CB}+\dfrac{3}{4} \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{CB}$

    $ABCD$ carré donc les vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{CB}$ sont orthogonaux et $ \overrightarrow{DA}$ et $ \overrightarrow{DC}$ sont orthogonaux
    donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{CB}=0$ et $ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DC}=0$
    on a aussi $ \overrightarrow{CB}= \overrightarrow{DA}$
    On a alors:
    $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}+ \overrightarrow{DA}. \overrightarrow{DA}$

    donc $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{ID}. \overrightarrow{IC}+DA^2$
  2. En déduire que $ \overrightarrow{IA}. \overrightarrow{IB}=24$ puis que $cos(\widehat{AIB})=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
    Donner alors la valeur arrondie à 0,1 degré près de $\widehat{AIB}$
    $AB=8$ donc $DI=2$ et $CI=6$


 
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