Exercice 751

Vecteurs orthogonaux

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Orthogonalité dans un triangle

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer si le triangle $ABC$ est rectangle.
  1. $A(-2;-1)$, $B(0;4)$ et $C(5;2)$
    faire une figure
    si le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ par exemple, calculer les coordonées des vecteurs $ \overrightarrow{\textbf{BA}}$ et $ \overrightarrow{BC}$
    Calculer $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}$
    .
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BA}}=x_A-x_B=0-(-2)=2 \\ y_{ \overrightarrow{BA}}=y_A-y_B=4-(-1)=5 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{BA}(2;5)$
    Remarque Vérifier sur la figure le résultat obtenu

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=5-0=5 \\ y_{ \overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=2-4=-2 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{BC}(5;-2)$


    $ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}=x_{ \overrightarrow{BA}}x_{ \overrightarrow{BC}}+y_{ \overrightarrow{BA}}y_{ \overrightarrow{BC}}$
    $\phantom{ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}}=2\times 5+5\times (-2) $
    $\phantom{ \overrightarrow{BA}. \overrightarrow{BC}}=0 $
    donc les vecteurs $ \overrightarrow{BA}$ et $ \overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux

    donc le triangle $ABC$ est rectangle en B

    Remarque
    On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle ABC mais cette méthode est à priori plus longue car il faut calculer trois distances avec les coordonnées des points dans le repère orthonormé.
  2. $A(0;-1)$, $B(-3;4)$ et $C(3;1)$
    faire une figure
    si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ par exemple, calculer les coordonées des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AC}$
    Calculer $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}$


 
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