Exercice 753

Vecteurs orthogonaux dans un repère orthonormé

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Vecteurs orthogonaux dans un repère orthonormé
Norme d'un vecteur

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  1. On donne $ \overrightarrow{u}(3;4)$.
    Déterminer un vecteur $ \overrightarrow{v}$ orthogonal à $ \overrightarrow{u}$ de norme 2.
    Si $ \overrightarrow{u}(a;b)$, $ \overrightarrow{v}(-b;a)$ est orthogonal à $ \overrightarrow{v}$
    Si $|| \overrightarrow{u}||=n$ ($n\neq 0$) alors $ \overrightarrow{u'}=\dfrac{1}{n} \overrightarrow{u}$ a pour norme 1.
    .

    $ \overrightarrow{v'}(-4;3)$ est un vecteur orthogonal au vecteur $ \overrightarrow{u}$, en effet:
    $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v'}=x_{ \overrightarrow{u}}x_{ \overrightarrow{v'}}+y_{ \overrightarrow{u}}y_{ \overrightarrow{v'}}$
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v'}}=3\times (-4)+4\times 3 $
    $\phantom{ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v'}}=0 $
    $|| \overrightarrow{v'}||=\sqrt{x_{ \overrightarrow{v'}}+y_{ \overrightarrow{v'}}}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
    donc $ \overrightarrow{v}=\dfrac{2}{5} \overrightarrow{v'}$ est orthogonal au vecteur $ \overrightarrow{u}$ et $|| \overrightarrow{v}||=2$
    On a alors $|| \overrightarrow{v}||=||\dfrac{2}{5} \overrightarrow{v'}||=\dfrac{2}{5}\times || \overrightarrow{v'}||=2$
    $ \overrightarrow{v}=\dfrac{2}{5} \overrightarrow{v'}$ donc $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{v}} =\dfrac{2}{5}x_{ \overrightarrow{v'}}=\dfrac{2}{5}\times (-4)=\dfrac{-8}{5} \\ y_{ \overrightarrow{v}} =\dfrac{2}{5}y_{ \overrightarrow{v'}}=\dfrac{2}{5}\times 3=\dfrac{6}{5} \\ \end{cases}$

    $ \overrightarrow{v}(\dfrac{-8}{5};\dfrac{6}{5})$

    Remarque
    Le vecteur $ \overrightarrow{v_1}(\dfrac{8}{5};\dfrac{-6}{5})$ ($ \overrightarrow{v_1}=- \overrightarrow{v}$) est aussi orthogonal au vecteur $ \overrightarrow{u}$ et a pour norme 2.
  2. On donne $ \overrightarrow{u}(1;2)$.
    Déterminer un vecteur $ \overrightarrow{v}$ orthogonal à $ \overrightarrow{u}$ de norme 1 (vecteur unitaire).


 
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