Exercice 754

Vecteur normal-équation cartésienne d'une prependiculaire

Contenu

Vecteur directeur d'une droite définie par une équation cartésienne
Tracer une droite
Coordonnées d'un vecteur normal
Equation cartésienne d'une perpendiculaire

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  1. On donne la droite $(d)$ d'équation $2x-3y+1=0$.
    Donner les coordonnées d'un vecteur directeur $ \overrightarrow{u}$ de $(d)$ puis tracer $(d)$.
    Pour tracer $(d)$ on peut chercher l'équation réduite de $(d)$ (forme $y=ax+b$) en isolant $y$ et en déterminant ensuite les coordonnées de deux points de la droite.
    On peut aussi chercher $y$ lorsque $x=0$ puis utiliser le vecteur $ \overrightarrow{u}$.
    Le vecteur $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ avec $a=2$ (coefficient de $x$) et $b=-3$ (coefficient de $y$) est un vecteur directeur de $(d)$

    donc $ \overrightarrow{u}(3;2)$

    si $x=0$, on a : $2\times 0-3y+1=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{1}{3}$

    Remarque
    On peut aussi chercher l'équation réduite de $(d)$:
    $2x-3y+1=0 \Longleftrightarrow -3y=-2x-1 \Longleftrightarrow y=\dfrac{-2x-1}{-3}\Longleftrightarrow y=\dfrac{2x+1}{3}$
    L'équation réduite de $(d)$ est $y=\dfrac{2x+1}{3}$
    Si $x=1$, on a $y=\dfrac{2\times 1+1}{3}=1$ donc $B(1;1)\in (d)$
    et si $x=-2$, on a $y=\dfrac{2\times (-2)+1}{3}=1$ donc $C(-2;-1)\in (d)$
  2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur $ \overrightarrow{v}$ normal à la droite $(d)$.
  3. En déduire une équation cartésienne de $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $I(1;2)$
    Si $ \overrightarrow{v}(2;-3)$ est un vecteur directeur de $(d')$ alors $-x_{ \overrightarrow{v}}$ est le coefficient de $y$ et $y_{ \overrightarrow{v}}$ est le coefficient de $x$ dans une équation cartésienne de $(d')$


 
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