Exercice 755

Droites perpendiculaires et parallèles

Contenu

Tracer une droite définie par une équation cartésienne
Equation d'une droite perpendiculaire à une autre
Recherche du point d'intersection avec l'axe des abscisses
Equation d'une droite parallèle à une autre

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne la droite $(d)$ d'équation $-3x+4y-6=0$
  1. Tracer $(d)$
    Pour tracer $(d)$ on peut chercher l'équation réduite de $(d)$ (forme $y=ax+b$) en isolant $y$ et en déterminant ensuite les coordonnées de deux points de la droite.
    On peut aussi chercher $y$ lorsque $x=0$ puis utiliser le vecteur $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ vecteur directeur de $(d)$.
    Le vecteur $ \overrightarrow{u}(-b;a)$ avec $a=-3$ (coefficient de $x$) et $b=4$ (coefficient de $y$) est un vecteur directeur de $(d)$
    donc $ \overrightarrow{u}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    si $x=0$, on a : $-3\times 0+4y-6=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{6}{4} \Longleftrightarrow y=\dfrac{3}{2}$

    Remarque
    On peut aussi chercher l'équation réduite de $(d)$:
    $-3x+4y-6=0 \Longleftrightarrow 4y=+3x+6 \Longleftrightarrow y=\dfrac{3x+6}{4}$
    L'équation réduite de $(d)$ est $y=\dfrac{3x+6}{4}$
    Si $x=2$, on a $y=\dfrac{3\times 2+6}{4}=3$ donc $B(2;3)\in (d)$
    et si $x=6$, on a $y=\dfrac{3\times 6+6}{4}=6$ donc $C(6;6)\in (d)$
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et de l'axe des abscisses
    Si on note $C$ ce point d'intersction, $C$ appartient à l'axe des abscisses donc son ordonnée $x_C=0$
    $C\in (d)$ donc ses coordonnées vérifient une équation de $(d)$
    $C$ appartient à l'axe des abscisses donc $y_C=0$
    $C\in (d)$ donc $-3x_C+4y_C-6=0$ avec $y_C=0$
    $-3x_C-6=0 \Longleftrightarrow -3x_C=6$
    $\phantom{-3x_C-6=0} \Longleftrightarrow x_C=\dfrac{6}{-3}$
    $\phantom{-3x_C-6=0} \Longleftrightarrow x_C=-2$

    $C(-2;0)$

    Remarque
    On peut aussi présenter les calculs avec un système d'équations:
    Une équation de l'axe des abscisses est $y=0$
    Il faut donc résoudre:
    $\begin{cases} y=0 \\ -3x+4y-6=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=0 \\ -3x-6=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=0 \\ x=-2 \end{cases}$
  3. Déterminer une équation cartésienne de $(d_1)$ perpendiculaire à $(d)$ puis tracer $(d_1)$
  4. Déterminer une équation cartésienne de $(d_2)$ parallèle à $(d)$ passant par $D(4;0)$ puis la tracer.
    $ \overrightarrow{u}(-4;-3)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc de $(d_2)$
    Les coefficients de $x$ et $y$ dans une équations cartésienne de $(d_2)$ peuvent donc être identiques à ceux d'une équation cartésienne de $(d)$
  5. Que peut-on dire des droites $(d_1)$ et $d_2)$? Le vérifier par le calcul.
    Vérifier qu'un vecteur directeur de $(d_1)$ et un vecteur directeur de $(d_2)$ sont orthogonaux.


 
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