Exercice 756

Hauteurs dans un triangle dans un repère orthonormé

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Equation de la hauteur issue d'un sommet dans un triangle
Recherche de l'orthocentre-intersection de deux droites

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(3;1)$, $B(11;5)$ et $C(6;10)$.
  1. Faire une figure
    .
  2. Déterminer une équation de la hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ puis la tracer.
    Remarque On pourra faire la figure à l'aide de GEOGEBRA pour contrôler le résultat
    La hauteur $(d)$ issue de $A$ dans $ABC$ est la droite perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{BC}$
    Déterminer alors les coordonnées d'un vecteur directeur $ \overrightarrow{u}$ normal à $(BC)$ (donc orthogonal à $ \overrightarrow{BC}$
    $(d)$ passe par le point $A$
    Placer les points A,B et C (commande: polygone) puis tracer la droite $(d)$ (commande: droite prependiculaire puis cliquer sur B et sur le segment [BC])
  3. Déterminer une équation de la hauteur $(d')$ issue de $C$ dans $ABC$ puis la tracer.
    La hauteur $(d')$ issue de $C$ dans $ABC$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$
    Déterminer alors les coordonnées d'un vecteur directeur $ \overrightarrow{v}$ normal à $(AB)$ (donc orthogonal à $ \overrightarrow{AB}$
    $(d')$ passe par le point $C$
  4. En déduire les coordonnées de l'orthocentre $H$ du triangle $ABC$
    Le point $H$ est le point d'intersection des hauteurs du triangle
    Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites définies par leurs équations cartésiennes, il faut résoudre le système d'équations formé avec ces deux équations.


 
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