Exercice 757

Droites perpendiculaires dans un carré

Contenu

Méthode 1: avec un repère orthonormé:
Coordonnées d'un vecteur-calcul du produit scalaire dans un repère orthonormé
Méthode 2: Méthode vectorielle
Décomposition d'un vecteur
Utilisation des propriétés algébriques du produit scalaire
Vecteurs orthogonaux et produit scalaire

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$ABCD$ est un carré et $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $AD]$
Montrer que $(CI)$ et $(BJ)$ sont perpendiculaires.
  1. Methode 1: (en utilisant un repère orthonormé)
    On peut utliser le repère orthonormé d'origine $A$ défini sur les côtés du carré
    Montrer que $ \overrightarrow{BJ}. \overrightarrow{CI}=0$
    $ABCD$ est un carré donc le repère $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD})$ est orthonormé.

    Dans ce repère, on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $C(1;1)$ et $D(0;1)$.
    $I$ milieu de $[AB]$ donc:
    $\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{1}{2} \\ y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{0}{2}=0 \end{cases}$
    donc $I(\dfrac{1}{2};0)$
    $J$ milieu de $[AD]$ donc:
    $\begin{cases} x_J=\dfrac{x_A+x_D}{2}=0 \\ y_J=\dfrac{y_A+y_D}{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    donc $J(0;\dfrac{1}{2})$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{CI}}=x_I-x_C=\dfrac{1}{2}-1=\dfrac{-1}{2} \\ y_{ \overrightarrow{CI}}=y_I-y_C=0-1=-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{CI}(\dfrac{-1}{2};-1)$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BJ}}=x_J-x_B=0-1=-1 \\ y_{ \overrightarrow{BJ}}=y_J-y_B= \dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{BJ}(-1;\dfrac{1}{2})$

    $ \overrightarrow{CI}. \overrightarrow{BJ}=x_{ \overrightarrow{CI}}x_{ \overrightarrow{BJ}}+y_{ \overrightarrow{CI}}y_{ \overrightarrow{BJ}}=\dfrac{-1}{2}\times (-1)+(-1)\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$
    donc $ \overrightarrow{CI}$ et $ \overrightarrow{BJ}$ sont orthogonaux

    donc $(CI)$ et $(BJ)$ sont perpendiculaires
  2. Sans utiliser un repère (calculs avec les vecteurs)
    Il faut calculer $ \overrightarrow{CI}. \overrightarrow{BJ}$
    On peut décomposer $ \overrightarrow{CI}= \overrightarrow{CB}+ \overrightarrow{BI}$ et $ \overrightarrow{BJ}= \overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{AJ}$
    Développer le produit scalaire ainsi obtenu
    Rappel: $I$ milieu de $[AB]$ soit $ \overrightarrow{AI}= \overrightarrow{IB}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB}$


 
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