Exercice 758

Tangentes perpendiculaires

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- équation réduite d'une tangente
- recherche de tangentes perpendiculaires

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$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-3x+1$ et on donne ci-dessous $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
$A$ est le point du plan de coordonnées $A(7;3)$.
  1. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $0$ et la tracer.
    Il faut calculer $f'(x)$ puis $f(0)$ et $f'(0)$
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (fonction polynôme du second degré).
    $f'(x)=2x-3$
    $f(0)=0^2-3\times 0+1=1$ et $f'(0)=2\times 0-3=-3$
    $T$: $y=f'(0)(x-0)+f(0)=-3x+1$

    L'équation réduite de $T$ est $y=-3x+1$.

    Il faut donc tracer la droite de coefficient directeur $-3$ coupant l'axe des ordonnées en $B(0;1)$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $I$ de la courbe pour lequel la tangente est perpendiculaire à $T$.
    La tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ a pour coefficient directeur $f'(x)$ et donc $\overrightarrow{u}(1;f'(x))$ est un vecteur directeur de cette tangente.
  3. Déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par $A$ et coupant l'axe des abscisses en $x=16$.
    $(D)$ passe par $A(7;3)$ et $C(16;0)$
    Si $M(x;y)$ est un point de $D$ alors on a $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ colinéaires
  4. Déterminer les coordonnées du point $J$ de $C_f$ pour lequel la tangente $T'$ est perpendiculaire à $(AB)$.
    On veut que $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{w}=0$ avec $\overrightarrow{w}$ vecteur directeur de $T'$.


 
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