Exercice 764

Intersection de deux cercles

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Déterminer le centre et le rayon d'une cercle défini par son équation
Déterminer une équation d'un cercle défini par son centre et un point du cercle
Recherche des coordonnées des points d'intersection de ces deux cercles dans un repère orthonormé

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  1. Le cercle $\mathcal{C}$ admet pour équation $x^2-2x+y^2-4y=45$.
    Déterminer le centre $A$ et le rayon $r$ de ce cercle puis le tracer dans un repère orthonormé.(on pourra faire la figure avec GEOGEBRA)
    $(x-1)^2=x^2-2x+1$
    $(y-2)^2=y^2-4y+4$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} x^2-2x+y^2-4y=45$
    $\Longleftrightarrow (x-1)^2-1+(y-2)^2-4=45$
    $\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2-5=45$
    $\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=50$

    $\mathcal{C}$ a pour centre le point $A(1;2)$ et rayon $r=\sqrt{50}$


    Remarque
    On peut saisir l'équation du cercle donnée dans l'énoncé dans la barre de saisie de GEOGEBRA puis contrôler que le cercle admet bien pour centre $A$
    On peut aussi tracer le cercle de centre $A$ et rayon 3 puis vérifier que l'équation affichée est équivalente à celle de l'énoncé.
  2. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C'}$ de centre $B(5;-1)$ et passant par $A$
    On peut calculer le rayon $AB$ de ce cercle pour déterminer une équation
  3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\mathcal{C'}$ puis contrôler sur la figure la cohérence des résultats obtenus.
    Un point $M(x;y)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et au cercle $\mathcal{C'}$ si ses coordonnées vérifient une équation de chacun des deux cercles
    (Avec GEOGEBRA, commande intersection de deux objets puis pointer sur le cercle $\mathcal{C}$ puis $\mathcal{C'}$.


 
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