Exercice 765

Recherche d'une ensemble de points dans un repère orthonormé

Contenu

Ensemble de points défini par un produit scalaire
Equation d'un cercle

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(2;1)$, $B(-2;3)$.
  1. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
    méthode 1: triangle rectangle inscrit dans un cercle
    Si $M$ est un point du cercle de diamètre $[AB]$, $AMB$ est un triangle rectangle en $M$
    méthode 2: avec le produit scalaire de vecteurs orthogonaux
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
    Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=0$
    Méthode 1
    $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ donc les vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$ sont orthogonaux
    donc $AMB$ est un triangle rectangle en $M$ L
    donc $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$


    Méthode 2.avec les coordonnées
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2 \\ y_{ \overrightarrow{AM}}=y_M-y_A= y-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AM}( x-2 ; y-1 )$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{BM}}=x_M-x_B=-x-(-2) =x+2\\ y_{ \overrightarrow{BM}}=y_M-y_B= y-3 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{BM}(x+2 ; y-3 )$

    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{BM}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{BM}}=0$
    $\Longleftrightarrow (x-2)\times (x+2)+(y-1)\times (y-3)=0$
    $\Longleftrightarrow x^2-2x+2x-4+y^2-y-3y+3=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+y^2-4y-1=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2-4-1=0$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-2)^2=5$
    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ est le cercle d'équation $ x^2+(y-2)^2=5$ de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{5}$

    donc l'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$ est le cercle de centre $C(0;2)$ et rayon $r=\sqrt{5}$

    Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$, $B$ et $C$ puis tracer le cercle de centre $C$ et rayon $[CA]$ ( ou $[CB]$)
    Placer un point $M$ sur le cercle puis tracer $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{BM}$
    puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
    pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=0$
    On peut déplacer le point $M$ sur le cercle pour vérifier l'égalité demandée $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=e$ sur la figure

  2. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=5$
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$
    Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}$ puis écrire une équation sachant que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=5$
  3. Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $AM^2+BM^2=12$


 
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