Exercice 771

Utilisation des formules d'addition et de duplication

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Ecriture de cos(3x) en fonction de cos(x)
Ecriture de sin(3x) en fonction de sin(x)

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  1. Exprimer $cos(3x)$ en fonction de $cos(x)$ ($x\in\mathbb{R}$)
    Ecrire $cos(3x)=cos(2x+x)$
    $cos(3x)=cos(2x+x)$
    $\phantom{cos(3x)}=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)$

    Or $cos(2x)=2cos^2(x)-1$ et $sin(2x)=2sin(x)cos(x)$
    donc on a:
    $cos(3x)=(2cos^2(x)-1)cos(x)-2sin(x)cos(x)sin(x)$

    $cos(3x)=2cos^3(x)-cos(x)-2sin^2(x)cos(x)$
    $cos^2(x)+sin^2(x)=1$ donc $sin^2(x)=1-cos^2(x)$
    donc $cos(3x)=2cos^3(x)-cos(x)-2(1-cos^2(x))cos(x)$

    $~~~~~~~~\phantom{ cos(3x)}=2cos^3(x)-cos(x)-2cos(x)+2cos^3(x)$

    $~~~~~~~~\phantom{ cos(3x)}=4cos^3(x)-3cos(x)$

    $cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)$
  2. Exprimer $sin(3x)$ en fonction de $sin(x)$ ($x\in\mathbb{R}$)
    Ecrire $sin(3x)=sin(2x+x)$


 
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