Exercice 772

Valeur exacte de cos pi sur 12

Contenu

Utilisation des formules d'addition et de multiplication
Deux méthodes différentes
Comparaison des résultats obtenus (calculs avec des racines carrées)

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  1. Calculer $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$.
    En déduire la valeur exacte de $cos(\dfrac{\pi}{12})$.
    Ecrire $cos(\dfrac{\pi}{12})=cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$ puis utiliser les formules d'addition.
    $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{4\pi}{12}-\dfrac{3\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$

    $cos(\dfrac{\pi}{12})=cos(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4})$

    $\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=cos(\dfrac{\pi}{3})cos(\dfrac{\pi}{4})+sin(\dfrac{\pi}{3})sin(\dfrac{\pi}{4})$

    $cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$, $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $sin(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    $cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

    $\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}+ \dfrac{\sqrt{6}}{4}$

    $\phantom{cos(\dfrac{\pi}{12})}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}$

    $cos(\dfrac{\pi}{12})=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}$
  2. Calculer $cos(\dfrac{\pi}{12})$ d'une autre façon en utilisant $cos(\dfrac{\pi}{6})$
    Ecrire $cos(\dfrac{\pi}{6})=cos(\dfrac{2\pi}{12})$
  3. Vérifier que les valeurs obtenues avec chaque méthode sont égales.
    On peut vérifier que les carrés des deux nombres sont égaux.


 
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