Exercice 773

Valeur exacte de cos( pi /8)

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Utilisation des formules de duplication pour calculer la valeur exacte de cos(pi/8) et sin(pi/8)

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Déterminer la valeur exacte de $cos(\dfrac{\pi}{8})$ puis de $sin(\dfrac{\pi}{8})$
$\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$
$cos(\dfrac{\pi}{4})=cos(\dfrac{2\pi}{8})$

$cos(\dfrac{\pi}{4})=cos(\dfrac{2\pi}{8})=2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1$

et $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
donc $2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\phantom{\Longleftrightarrow}2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longleftrightarrow 2cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}$

$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$

$\Longleftrightarrow cos(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}$ car $cos(\dfrac{\pi}{8})>0$

$ cos(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$


$cos^2(\dfrac{\pi}{8})+sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1$
donc $sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1-cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$

et $sin(\dfrac{\pi}{8})>0$ donc $sin(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}$


donc $sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$


 
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