Exercice 775

Equations trigonométriques

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Simplification d'une équation avec les formules d'addition ou de duplication
Résolution d'une équation trigonométrique

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  1. Résoudre l'équation $\sqrt{3}sin(x)=cos(x)$ dans $\mathbb{R}$
    $sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$
    Se ramener à une équation de la forme $asin(x)+b(cos(x)=0$ pui utiliser une formule d'addition
    $sin(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $cos(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2}$
    $\sqrt{3}sin(x)=cos(x)\Longleftrightarrow \sqrt{3}sin(x)-cos(x)=0 $

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)-\dfrac{1}{2} cos(x)=0 $

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow sin(\dfrac{\pi}{3})sin(x)-cos(\dfrac{\pi}{3})cos(x)=0$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow cos(\dfrac{\pi}{3})cos(x)-sin(\dfrac{\pi}{3})sin(x)=0$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow cos(x+\dfrac{\pi}{3})=0$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ou $x+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow x=-\dfrac{2\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{6}-\dfrac{3\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    $\phantom{\sqrt{3}sin(x)=cos(x)}\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ ou $x=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

    $S=\left\lbrace \dfrac{\pi}{6}+k2\pi;-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \right\rbrace $ avec $k\in \mathbb{Z}$
  2. Résoudre l'équation $cos^2(x)=sin^2(x)$ dans $\mathbb{R}$
    $cos^2(x)=sin^2(x)\Longleftrightarrow cos^2(x)-sin^2(x)=0$


 
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