Exercice 791

Droites perpendiculaire et triangles

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Montrer que deux droites sont perpendiculaires:
Méthode analytique et méthode vectorielle

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$ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $A$ et les points $D$ et $E$ sont respectivement sur les demi-droites $[AB)$ et $[AC)$tels que $AD=AE$ (voir figure)
$I$ est le milieu de $[BE]$

Montrer que la droite $(AI)$ est la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ACD$.
  1. Methode 1: (en utilisant un repère orthonormé)
    On peut utliser le repère d'origine $A$ défini sur les côtés $[AB]$ et $[AC]$
    On peut noter $x$ l'abscisse de $D$ dans ce repère et on a alors $x_D=y_E=x$
    Déterminer les coordonnées du point $I$
    Montrer que $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{CD}=0$
    On considère le repère orthonormé $(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC})$.

    Dans ce repère, on a $A(0;0)$, $B(1;0)$ et $C(0;1)$ .
    On peut noter $x$ l'abscisse de $D$ dans ce repère.
    $D\in [AB)$
    donc on a $x_D=x$ et $y_D=0$ soit $D(x;0)$
    $E\in [AC)$
    donc on a $x_E=0$ et $y_E=x$ car $AD=AE$ soit $E(0;x)$

    $\begin{cases} x_{I}=\dfrac{x_B+x_E}{2}=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \\ y_{I}=\dfrac{y_B+y_E}{2}=\dfrac{0+x}{2}=\dfrac{x}{2} \end{cases}$
    donc $I(\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2})$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{CD}}=x_D-x_C=x-0=x\\ y_{ \overrightarrow{CD}}=y_D-y_C=0-1=-1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{CD}(x;-1)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AI}}=x_I-x_A=\dfrac{1}{2}\\ \\ y_{ \overrightarrow{AI}}=y_I-y_A=\dfrac{x}{2} \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AI}(\dfrac{1}{2};\dfrac{x}{2})$
    $ \overrightarrow{CD}. \overrightarrow{AI}=x_{ \overrightarrow{CD}}x_{ \overrightarrow{AI}}+y_{ \overrightarrow{CD}}y_{ \overrightarrow{AI}}= x\times \dfrac{1}{2}+(-1)\times \dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}=0$
    donc $ \overrightarrow{CD}$ et $ \overrightarrow{AI}$ sont orthogonaux
    donc $(CD)$ et $(AI)$ sont perpendiculaires

    donc $(AI)$ est la hauteur issue de $A$ dans $ACD$
  2. Sans utiliser un repère (calculs avec les vecteurs)
    Il faut calculer $ \overrightarrow{AI}. \overrightarrow{CD}$
    $ \overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AD}$
    Développer le produit scalaire ainsi obtenu
    Rappel: $I$ milieu de $[BE]$ soit $ \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}( \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AE})$


 
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