Exercice 7910

Equation de cercle avec paramètre

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Equation d'un cercle
Recherche du centre et du rayon
Intersection de deux cercles
Famille de cercles passant par deux points fixes

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on note $\mathcal{C}_k$ le cercle, s'il existe, défini par l'équation $x^2+y^2-2kx-4ky+4k-1=0$ avec $k$ réel.
  1. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $\mathcal{C}_k$ existe et déterminer alors les coordonnées du centre $\Omega_k$ de $\mathcal{C}_k$ et son rayon $r_k$.
    $(x-k)^2=x^2-2kx+k^2$ et $(y-2k)^2=y^2-4ky+4k^2$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} x^2+y^2-2kx-4ky+4k-1=0$

    $\Longleftrightarrow (x-k)^2-k^2+(y-2k)^2-4k^2+4k-1=0$

    $\Longleftrightarrow (x-k)^2+(y-2k)^2=5k^2-4k+1$
    $\mathcal{C}_k$ existe si $5k^2-4k+1\geq 0$

    Etude du signe et recherche des racines de $5k^2-4k+1$
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 5\times 1=16-20=-4$
    $\Delta<0$ donc le polynôme $5k^2-4k+1$ est de signe constant et du signe de $a=5$ coefficient de $x^2$
    donc $5k^2-4k+1>0$ pour tout réel $k$.
    $\mathcal{C}_k$ a alors pour centre $\Omega_k(k;2k)$ et pour rayon $r_k=\sqrt{5k^2-4k+1}$

    Pour tout réel $k$, $\mathcal{C}_k$ a pour centre $\Omega_k(k;2k)$ et pour rayon $r_k=\sqrt{5k^2-4k+1}$
  2. Tracer $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
    Quelle conjecture peut-on faire pour ces trois cercles?
  3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$.
    Il faut résoudre le système formé avec les équations de $\mathcal{C}_0$ et $\mathcal{C}_1$
  4. Montrer alors que $\mathcal{C}_k$ passe par deux points fixes quelque soit la valeur du réel $k$.
    Si les cercles $\mathcal{C}_k$ passent tous par deux points fixes, il s'agit alors des points $A$ et $B$ trouvés à la question précédente.
    Un point $M(x;y)$ appartient au cercle $\mathcal{C}_k$ si ses coordonnées vérifient une équation de $\mathcal{C}_k$


 
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