Exercice 7911

Cercle passant par trois points

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Equation de la médiatrice d'un segment
Intersection de de deux droites
Equation d'un cercle

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(6;6)$, $B(3;-3)$ et $C(8;2)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d)$ de $[AB]$
    Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d')$ de $[AC]$
    La médiatrice de $[AB]$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
    $M\in (d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$
    $(d)$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
    $\begin{cases} x_{I}=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{6+3}{2}=\dfrac{9}{2}\\ \\ y_{I}=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{6-3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    donc $I(\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-6=-3\\ y_{ \overrightarrow{AB}}=-3-6=-9 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}(-3;-9)$

    Soit $M(x;y)\in (d)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{IM}}=x_M-x_I=x-\dfrac{9}{2}\\ y_{ \overrightarrow{IM}}=y_M-y_I=y-\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{IM}(x-\dfrac{9}{2};y-\dfrac{3}{2})$
    $M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{IM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{IM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-\dfrac{9}{2})\times (-3)+(y-\dfrac{3}{2})\times (-9)=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x+\dfrac{27}{2}-9y+\dfrac{27}{2}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x-9y+27=0$


    $-3x-9y+27=0$ est une équation de $(d)$


    Remarque
    On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ en écrivant que $M\in (d)$ si $AM=BM$ ou bien $AM^2=BM^2$
    soit $(x-6)^2+(y-6)^2=(x-3)^2+(y+3)^2$ puis en développant et en simplifiant les deux membres de cette égalité.

    $(d')$ est la droite passant par $J$ le milieu de $[AC]$ et perpendiculaire à $(AC)$.
    $\begin{cases} x_{J}=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{6+8}{2}=7\\ \\ y_{J}=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4 \end{cases}$
    donc $J(7;4)$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=8-6=2\\ y_{ \overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-6=-4\\ \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AC}(2;-4)$

    Soit $M(x;y)\in (d')$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{JM}}=x_M-x_J=x-7\\ y_{ \overrightarrow{JM}}=y_M-y_J=y-4 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{JM}(x-7;y-4)$
    $M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{JM}}x_{ \overrightarrow{AC}}+y_{ \overrightarrow{JM}}y_{ \overrightarrow{AC}}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-7)\times 2+(y-4)\times (-4)=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-14-4y+16=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-4y+2=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x-2y+1=0$

    $x-2y+1=0$ est une équation de $(d')$

  2. En déduire les coordonnées du centre du cercle $\mathcal{C}$ passant par $A$, $B$ et $C$ puis une équation de ce cercle.
    Le centre du cercle passant par $A$, $B$ et $C$ est équidistant des points $A$, $B$ et $C$
    Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$


 
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