Exercice 792

Calcul d'une distance dans un rectangle

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Application des propriétés algébriques
Projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite

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$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=a$ et $BC=b$ avec $a>b$.
$E$ et $F$ sont les projetés orthogonaux respectivement des points $A$ et $C$ sur la diagonale $(BD)$.
  1. Exprimer $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}$ en fonction de $a$ et $b$
    $ABCD$ est un rectangle donc $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$ et $ \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}$
    Développer l'expression puis simplifier avec $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{AD}$ orthogonaux.....
    $ABCD$ est un rectangle donc $ \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}$ et $ \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC}$

    $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}=( \overrightarrow{AD}+ \overrightarrow{AB}).( \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{DC})$
    $\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}}= \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{DC}+ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DA}+ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DC}$
    $ABCD$ est un rectangle donc $ \overrightarrow{AD}$ et $ \overrightarrow{DC}$ sont orthogonaux donc $ \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{DC}=0$
    et $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{DA}$ sont orthogonaux donc $ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{DA}=0$.
    On a aussi $ \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{DC}$.
    On a alors:
    $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}= \overrightarrow{AD}.(- \overrightarrow{AD})+ \overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AB}$
    $\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}}=- \overrightarrow{AD}^2+ \overrightarrow{AB}^2$
    $\phantom{ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}}=-b^2+a^2$

    $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}=a^2-b^2$
  2. En déduire que $EF=\dfrac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$
    Utiliser les projetés orthogonaux de $A$ et $C$ sur $(BD)$ pour exprimer le produit scalaire $ \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{DB}$ en fonction de $DB$ et $EF$ puis utiliser la question 1


 
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