Exercice 793

Recherche d'une ensemble de points dans un repère orthonormé

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Recherche d'un ensemble de points défini par un produit scalaire
Utilisation de GEOGEBRA pour calculer un produit scalaire contrôler les calculs

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(1;4)$ et $B(-3;6)$.
  1. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=1$
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{AB}$
    Calculer $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {AB}$ pour obtenir une relation de la forme $ax+by+c=0$ (équation cartésienne d'une droite)
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1 \\ y_{ \overrightarrow{AM}}=y_M-y_A= y-4 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AM}( x-1 ; y-4 )$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-3-1 =-4 \\ y_{ \overrightarrow{AB}}=y_B-y_A= 6-4 = 2 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}( -4 ; 2 )$
    $\phantom{\Longleftrightarrow} \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=1$
    $\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=1$
    $\Longleftrightarrow (x-1)\times (-4)+(y-4)\times 2=1$
    $\Longleftrightarrow -4x+4+2y-8=1$
    $\Longleftrightarrow -4x+2y-5=0$
    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=1$ est la droite d'équation $-4x+2y-5=0$

    donc l'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=1$ est la droite $(d)$ d'équation $-4x+2y-5=0$

    Avec GEOGEBRA, on peut placer les points $A$ et $B$, tracer la droite d'équation $-4x+2y-5=0$ puis tracer les vecteurs $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{AM}$ avec $M\in(d)$
    puis utiliser la commande ProduitScalaire[u,v](voir image ci-dessous)
    pour vérifier que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=1$

    Remarque
    Pour tracer la droite dans un repère, on peut chercher les coordonnées de deux points $D_1$ et $D_2$ de cette droite:
    Par exemple, si $x=0$, on a $2y-5=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{5}{2}$ donc $D_1(0;2,5)$
    et si $x=-2$, on a $8+2y-5=0 \Longleftrightarrow y=\dfrac{-3}{2}$ donc $D_2(-2;-1,5)$
  2. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=1$
    Exprimer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{AM}$ et $ \overrightarrow{BM}$ en fonction de $x$ et $y$
    On a $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow {BM}=1$ puis transformer l'équation obtenue en équation de cercle


 
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