Exercice 794

Orthogonalité dans un carré

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Montrer que deux droites sont perpendiculaires
Utilisation des propriétés du produit scalaire

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$ABCD$ est un carré et $E$ est défini par la relation $ \overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AB}$ et $F$ est le milieu de $[BC]$.
Le point $G$ est tel que $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{4} \overrightarrow{AD}$ et $H$ est le milieu de $[AD]$.
  1. Faire une figure
    .
  2. Exprimer $ \overrightarrow{HG}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$
  3. Exprimer $ \overrightarrow{EF}$ en fonction des vecteurs $ \overrightarrow{AB}$ et $ \overrightarrow{BC}$
  4. En déduire que les droites $(HG)$ et $(EF)$ sont perpendiculaires.
    Utiliser les deux décompositions obtenues aux questions 2. et 3.
    Calculer $ \overrightarrow{EF}. \overrightarrow{HG}$ et vérifier que ce produit scalaire est nul.


 
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