Exercice 795

Cercle circonscrit à un triangle dans un repère orthonormé

Contenu

Equation d'une droite perpendiculaire à une autre (équation cartésienne de la médiatrice d'un segment)
Recherche des coordonnées du point d'intersection des médiatrices des côtés
Equation du cercle circonscrit
Contrôle des résultats avec GEOGEBRA

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(0;-2)$, $B(3;-3)$ et $C(8; 2)$.
  1. Déterminer une équation de la médiatrice $(d)$ de $[AB]$
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$
    $M(x;y)\in (d)$ si et seulement si $ \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$
    La médiatrice $(d)$ de $[AB]$ passe par le milieu I de $[ AB]$ et est perpendiculaire à $(AB)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}} = x_B - x_A = 3 - 0 = 3\\ y_{ \overrightarrow{AB}} = y_B - y_A = -3 - (-2) = -1 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}(3;-1)$ est un vecteur directeur de $(AB)$ donc un vecteur normal à la droite $(d)$
    Soit $I$ le milieu de $[AB]$ :
    $\begin{cases} x_I =\dfrac{ x_A + x_B}{2}=\dfrac{3}{2} \\ y_I = \dfrac{ y_A + y_B}{2}=\dfrac{-3-2}{2}=\dfrac{-5}{2} \end{cases}$
    donc $I(\dfrac{3}{2};\dfrac{-5}{2})$
    Si $M(x; y)$ appartient à $(d)$, $ \overrightarrow{IM}$ et $ \overrightarrow{AB}$ sont orthogonaux.
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{IM}} = x_M - x_I = x -\dfrac{3}{2}\\ y_{ \overrightarrow{IM}} = y_M - y_I = y+\dfrac{5}{2} \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{IM}(x -\dfrac{3}{2}; y+\dfrac{5}{2})$
    $M\in (d)\Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$
    $\phantom{M\in (d)}\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{IM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{IM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=0$
    $\phantom{M\in (d)}\Longleftrightarrow (x -\dfrac{3}{2})\times 3+(y+\dfrac{5}{2})\times (-1)=0$
    $\phantom{M\in (d)}\Longleftrightarrow 3x -\dfrac{9}{2}-y-\dfrac{5}{2}=0$
    $\phantom{M\in (d)}\Longleftrightarrow 3x-y-7=0$

    $3x-y-7=0$ est une équation de $(d)$

    Remarque
    On peut aussi utiliser la colinéarité de deux vecteurs dans un repère avec le vecteur $ \overrightarrow{u}(1; 3)$ normal à la droite $(AB)$ c'est à dire vecteur orthogonal au vecteur $ \overrightarrow{AB}$
    et $M(x; y)\in (d)$ si $ \overrightarrow{IM}$ et $ \overrightarrow{u}$ colinéaires......
    Remarque
    Une méthode vue en seconde consiste aussi à utiliser le fait que si $M \in (d)$, on a $AM^2 = BM^2$ (tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B)
    On a alors $AM^2 = BM^2$ soit $(x -x_A)^2 + (y -y_A)^2 = (x -x_B)^2 + (y -y_B)^2$.....
    on peut ensuite développer et simplifier pour obtenir une équation de (d)
  2. Déterminer une équation de la médiatrice $(d')$ de $[AC]$.
    Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AC}$ et du milieu $J$ de $[AC]$
    $M(x;y)\in (d')$ si et seulement si $ \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$
    La médiatrice $(d')$ de $[AC]$ passe par le milieu J de $[ AC]$ et est perpendiculaire à $(AC)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AC}} = x_C - x_A = 8-0=8\\ y_{ \overrightarrow{AC}} = y_C - y_A = 2-(-2)=4 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AC}(8;4)$ est un vecteur directeur de $(AC)$ donc un vecteur normal à la droite $(d')$
    Soit $J$ le milieu de $[AC]$ :
    $\begin{cases} x_J =\dfrac{ x_A + x_C}{2}=\dfrac{8+0}{2}=4 \\ y_J = \dfrac{ y_A + y_C}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=0 \end{cases}$
    donc $J(4;0)$
    Si $M(x; y)$ appartient à $(d')$, $ \overrightarrow{JM}$ et $ \overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux.
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{JM}} = x_M - x_J = x -4\\ y_{ \overrightarrow{JM}} = y_M - y_J = y \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{JM}(x-4; y)$
    $M\in (d')\Longleftrightarrow \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$
    $\phantom{M\in (d')}\Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{JM}}x_{ \overrightarrow{AC}}+y_{ \overrightarrow{JM}}y_{ \overrightarrow{AC}}=0$
    $\phantom{M\in (d')}\Longleftrightarrow (x -4)\times 8+y\times 4=0$
    $\phantom{M\in (d')}\Longleftrightarrow 8x+4y-32=0$
    $\phantom{M\in (d')}\Longleftrightarrow 2x+y-8=0$

    $2x+y-8=0$ est une équation de (d')
  3. Déterminer les coordonnées du centre $ S$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ puis une équation de ce cercle.
    $S$ est le point d'intersection de $(d)$ et $(d')$
    Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$
  4. Soit $K$ le milieu de $[BC]$.
    Vérifier que la droite $(KS)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
    Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{KS}$ et $ \overrightarrow{BC}$
    puis $ \overrightarrow{KS}. \overrightarrow{BC}$
  5. Contrôler les résultats avec GEOGEBRA
    Placer les points $A$, $B$ et $C$
    Placer les points $I$ et $J$ (commande milieu) en pointant les sommets du triangle A et B puis A et C
    puis tracer (commande droite perpendiculaire) les droites $(d)$ et $(d')$ et placer le point $S$ (commande intersectionde deux objets)
    Tracer le cercle de centre S et rayon $SA$ par exemple puis contrôler avec l'équation affichée dans la fenêtre algèbre


 
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