Exercice 796

Intersections avec un cercle dans un repère orthonormé

Contenu

Intersection d'un cercle avec les axes du repère
Intersection d'une droite et d'un cercle
Intersection de deux cercles

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Le plan est muni d'un repère orthonormé et on considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(-2;3)$ et de rayon $r=2\sqrt{5}$
On construira la figure au fil des questions avec le logiciel GEOGEBRA pour contrôler les résultats obtenus
  1. Donner une équation du cercle $\mathcal{C}$.
    Le cercle $\mathcal{C}$ a pour centre $A(-2;3)$ et rayon $r=2\sqrt{5}$
    donc admet pour équation $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ soit ici $(x-(-2))^2+(y-3)^2=(2\sqrt{5})^2$

    $(x+2)^2+(y-3)^2=20$ est une équation de $\mathcal{C}$

    Dans GEOGEBRA placer, $A$ puis utiliser la commande "cercle-centre-rayon".
    Pour saisir $2\sqrt{5}$ il faut écrire 2sqrt(5).
  2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, avec l'axe des ordonnées.
    Un point $B$ appartient à l'axe des ordonnées si $x_B=0$
    $B(x_B;y_B)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation du cercle
    soit $(x_B+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    Si on note $B(x_B;y_B)$ un point d'intersection, s'il existe, du cercle $\mathcal{C}$ avec l'axe des ordonnées, on a:
    $B\in (Oy)$ donc $x_B=0$
    $B\in \mathcal{C}\Longleftrightarrow (x_B+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow (0+2)^2+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow 4+(y_B-3)^2=20$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow(y_B-3)^2=16$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow y_B-3=\sqrt{16}$ ou bien $y_B-3=-\sqrt{16}$
    $\phantom{B\in \mathcal{C}}\Longleftrightarrow y_B=7$ ou bien $y_B=-1$

    $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées en $B_1(0;7)$ et $B_2(0;-1)$

    Dans GEOGEBRA , utiliser la commande "intersection entre deux objets" puis pointer sur le cercle et ensuite l'axe des ordonnées.

    Remarque
    On peut aussi contrôler le calcul en vérifiant que $B_1$ et $B_2$ appartiennent bien au cercle $\mathcal{C}$
    donc que leurs coordonnées vérifient l'équation du cercle $\mathcal{C}$
  3. La droite $(d)$ a pour équation $2x-y-3=0$.
    Montrer que $(d)$ est une tangente au cercle $\mathcal{C}$ en un point $C$ dont on précisera les coordonnées.
    $(d)$ est tangente au cercle $\mathcal{C}$ si $(d)$ coupe le cercle $\mathcal{C}$ en un seul point.
    Le point $C$ appartient à la droite $(d)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(d)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.
  4. Le point $D$ a pour coordonnées $D(-8;0)$.
    Déterminer les coordonnées du point $E$, second point d'intersection de la droite $(CD)$ et du cercle $\mathcal{C}$
    $ \overrightarrow{CD}$ est un vecteur directeur de $(CD)$ dont il faut déterminer une équation cartésienne.
    Le point $E$ appartient à la droite $(CD)$ et au cercle $\mathcal{C}$ si ses coordonnées vérifient une équation de $(CD)$ et une équation du cercle $\mathcal{C}$.
  5. Le cercle $\mathcal{C'}$ a pour équation $(x-1)^2+(y+6)^2=50$.
    Déterminer les coordonnées des points d'intersection, s'ils existent, du cercle $\mathcal{C}$ et du cercle $\mathcal{C'}$
    Le point $M$ appartient au cercle $\mathcal{C}$ et au cercle $\mathcal{C'}$ si ses coordonnées vérifient une équation du cercle $\mathcal{C}$ et une équation du cercle $\mathcal{C'}$.


 
Haut de page