Exercice 797

Recherche d'un cercle passant par trois points donnés

Contenu

Equation cartésienne de la médiatrice d'un segment
Intersection de deux droites
Equation d'un cercle
Utilisation de GEOGEBRA pour contrôler les résultats

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Le plan est muni d'un repère orthonormé et on donne les points $A(6;6)$, $B(3;-3)$ et $C(8;2)$.
  1. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d)$ de $[AB]$
    Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice $(d')$ de $[AC]$
    La médiatrice de $[AB]$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
    $M\in (d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$
    $(d)$ est la droite passant par $I$ le milieu de $[AB]$ et perpendiculaire à $(AB)$.
    $\begin{cases} x_{I}=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{6+3}{2}=\dfrac{9}{2}\\ \\ y_{I}=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{6-3}{2}=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    donc $I(\dfrac{9}{2};\dfrac{3}{2})$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=3-6=-3\\ y_{ \overrightarrow{AB}}=-3-6=-9 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AB}(-3;-9)$

    Soit $M(x;y)\in (d)$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{IM}}=x_M-x_I=x-\dfrac{9}{2}\\ y_{ \overrightarrow{IM}}=y_M-y_I=y-\dfrac{3}{2} \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{IM}(x-\dfrac{9}{2};y-\dfrac{3}{2})$
    $M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{IM}. \overrightarrow{AB}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{IM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{IM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-\dfrac{9}{2})\times (-3)+(y-\dfrac{3}{2})\times (-9)=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x+\dfrac{27}{2}-9y+\dfrac{27}{2}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow -3x-9y+27=0$


    $-3x-9y+27=0$ est une équation de $(d)$


    Remarque
    On peut aussi trouver une équation cartésienne de la médiatrice de $[AB]$ en écrivant que $M\in (d)$ si $AM=BM$ ou bien $AM^2=BM^2$
    soit $(x-6)^2+(y-6)^2=(x-3)^2+(y+3)^2$ puis en développant et en simplifiant les deux membres de cette égalité.

    $(d')$ est la droite passant par $J$ le milieu de $[AC]$ et perpendiculaire à $(AC)$.
    $\begin{cases} x_{J}=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{6+8}{2}=7\\ \\ y_{J}=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{6+2}{2}=4 \end{cases}$
    donc $J(7;4)$

    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=8-6=2\\ y_{ \overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-6=-4\\ \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{AC}(2;-4)$

    Soit $M(x;y)\in (d')$
    $\begin{cases} x_{ \overrightarrow{JM}}=x_M-x_J=x-7\\ y_{ \overrightarrow{JM}}=y_M-y_J=y-4 \end{cases}$
    donc $ \overrightarrow{JM}(x-7;y-4)$
    $M\in(d) \Longleftrightarrow \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{JM}}x_{ \overrightarrow{AC}}+y_{ \overrightarrow{JM}}y_{ \overrightarrow{AC}}=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow (x-7)\times 2+(y-4)\times (-4)=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-14-4y+16=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow 2x-4y+2=0$

    $\phantom{M\in(d)} \Longleftrightarrow x-2y+1=0$

    $x-2y+1=0$ est une équation de $(d')$

  2. En déduire les coordonnées du centre du cercle $\mathcal{C}$ passant par $A$, $B$ et $C$ puis une équation de ce cercle.
    Le centre du cercle passant par $A$, $B$ et $C$ est équidistant des points $A$, $B$ et $C$
    Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$


 
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