Exercice 798

Recherche d'un ensemble de points sans utiliser de repère

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Recherche d'un ensemble de points sans utiliser de repère
Utilisation de GEOGEBRA pour contrôler les résultats
Comparaison avec la méthode analytique en utilisant un repère orthonormé

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On donne les points $A$ et $B$ tels que $AB=6$cm
  1. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12$
    Utiliser le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$
    Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$
    $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}<0$ donc $H\notin [AB)$
    On a alors $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-AH\times AB=-6AH$
    $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12 \Longleftrightarrow -6AH=-12 \Longleftrightarrow AH=2$

    L'ensemble des points $M$ tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12$ est la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$ tel que $AH=2$ et $H\notin [AB)$



    Remarque
    Avec le point $I$ défini par $ \overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{6} \overrightarrow{AB}$ et le point $J$ tel que $ \overrightarrow{AJ}$ et $ \overrightarrow{AI}$ sont orthogonaux et $AI=AJ$
    Le repère $(A; \overrightarrow{AI}; \overrightarrow{AJ})$ est orthonormé.
    En notant $x$ et $y$ les coordonnées de $M$ dans ce repère, on a:
    $ \overrightarrow{AB}(6;0)$, $AB=6$ unités (l'unité étant alors le centimètre) et $ \overrightarrow{AM}(x;y)$
    $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12 \Longleftrightarrow x_{ \overrightarrow{AM}}x_{ \overrightarrow{AB}}+y_{ \overrightarrow{AM}}y_{ \overrightarrow{AB}}=-12$

    $\phantom{ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12} \Longleftrightarrow x\times 6+y\times 0=-12$

    $\phantom{ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{AB}=-12} x=-2$
    $x=-2$ est une équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point $H(-2;0)$


  2. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ du plan tels que $ \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}=4$
    Utiliser le point $I$ milieu de $[AB]$
    Décomposer $ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{IM}$ et $ \overrightarrow{BM}= \overrightarrow{BI}+ \overrightarrow{IM}$
  3. Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$ tels que $AM^2+BM^2=36$.
    Utiliser le point $I$ milieu de $[AB]$
    Décomposer $ \overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}+ \overrightarrow{IM}$ et $ \overrightarrow{BM}= \overrightarrow{BI}+ \overrightarrow{IM}$


 
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