Exercice 799

Puissance d'un point par rapport à cercle-GEOGEBRA

Contenu

Faire une conjecture en construisant la figure avec GEOGEBRA
Utilisation des propriétés algébriques et de la relation de Chasles pour la somme de vecteurs

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On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ et $M$ est un point n'appartenant pas à $\mathcal{C}$.
$(d)$ est une droite par $M$ et coupant $\mathcal{C}$ respectivement en deux points distincts $A$ et $B$.
  1. Faire une figure avec GEOGEBRA en prenant pour rayon $r$ 5 unités et en plaçant $M$ à l'extérieur du cercle et un point $A$ sur $\mathcal{C}$.
    Que peut-on alors conjecturer pour le produit scalaire $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ lorsque $A$ décrit le cercle $\mathcal{C}$?
    Refaire la figure avec $M$ à l'intérieur du cercle.
    Quelle conjecture peut-on faire sur le signe de $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ selon la position de $M$?
    Utiliser la commande ProduitScalaire[u,v] pour afficher le produit scalaire $ \overrightarrow{u}. \overrightarrow{v}$ en définissant $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{MB}$
    Placer le point $O$
    Tracer le cercle de centre $O$ et rayon 5 (commande "cercle-centre-rayon")
    Placer le point $M$ à l'extérieur de $\mathcal{C}$.
    Tracer une droite $(d)$ passant par $M$ et un point du cercle.
    Marquer $B$ intersection du cercle et de la droite $(d)$
    Tracer les vecteurs $ \overrightarrow{u}= \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{v}= \overrightarrow{MB}$ puis afficher le produit scalaire $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ (commande: \rg{ProduitScalaire[u,v]} dans la barre de saisie)



    En déplaçant le point $A$ sur le cercle, on constate que $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ est constant.


    En plaçant $M$ à l'intérieur du cercle, on a:


    Si $M$ est à l'intérieur du cercle, le point $M\in[AB]$ et donc $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}<0$
  2. On note $A'$ le point du cercle diamétralement opposé au point $A$.
    Montrer que $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MA`}$
    Décomposer $ \overrightarrow{MB}= \overrightarrow{MA'}+ \overrightarrow{A'B}$
  3. En déduire que $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}=MO^2-r^2$
    Utiliser $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MA'}$ et décomposer les vecteurs $ \overrightarrow{MA}$ et $ \overrightarrow{MA'}$ en faisant intervenir le centre O du cercle.
  4. On a montré que le produit scalaire $ \overrightarrow{MA}. \overrightarrow{MB}$ est indépendant de la position de la droite $(d)$ sécante au cercle $\mathcal{C}$. Ce produit scalaire ne dépend que de la position de $M$ par rapport à $O$.
    Le réel $MO^2-r^2$ est appelé puissance du point $M$ par rapport au cercle $\mathcal{C}$.


 
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