Exercice 9210

Calcul d'une espérance, de la variance et comparaison de deux jeux

Contenu

- loi de probabilité d'une variable aléatoire
- calcul de l'espérance et de la variance
- comparaison de de jeux avec les résultats de l'espérance et de la variance

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Pour une tombola, on propose pour 5 euros un billet au hasard.
Il y a deux organisateurs A et B.
Avec l'organisateur A, il se vend 100 billets de tombola et parmi ceux-ci, 5 permettent de gagner 50 euros et 10 de gagner 25 euros.
Avec l'organisateur B, il se vend 200 billets de tombola et parmi ceux-ci, 40 permettent de gagner 25 euros.
On considère les variables aléatoires $X$ et $Y$ donnant le gain du joueur respectivement avec les organisateurs A et B.
  1. Organisateur A:
    Déterminer la loi de probabilité de $X$, calculer son espérance et sa variance.
    Identifier les différentes valeurs possibles de $X$ en tenant compte de la mise, par exemple, si on a un billet gagnant à 50 euros, le gain final sera de $50-5=45$ euros
    On a donc trois cas possibles:
    -Si le joueur a un billet gagnant à 25 euros, il gagne finalement $25-5=20$ euros
    -Si le joueur a un billet gagnant à 50 euros, il gagne finalement $50-5=45$ euros
    -Si le joueur a un billet perdant, il gagne finalement $-5$ euros (c'est à dire perd 5 euros)
    La loi de probabilité de $X$ est donc la suivante:

    $E(X)=-5\times 0,85+20\times 0,1+45\times 0,05=0$
    $V(X)=(-5)^2\times 0,85+20^2\times 0,1+45^2\times 0,05-E(X)^2=162,5$

    $E(X)=0$ et $V(X)=162,5$

    Cela signifie qu'en moyenne, un joueur va gagner 0 euros par billet acheté.
  2. Organisateur B:
    Déterminer la loi de probabilité de $Y$, calculer son espérance et sa variance.
  3. Avec quel organisateur le joueur a-t-il le plus de chance de ne pas perdre d'argent?
    La variance est une caractéristique de dispersion


 
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