Exercice 9211

Calculs de probabilités, loi de probabilité, espérance et écart type

Contenu

- calculs de probabilités
- loi de probabilité d'une variable aléatoire
- calcul de l'espérance et de l'écart type
- comparaison des résultats obtenus pour l'écart type

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Deux clubs sportifs $A$ et $B$ organisent une tombola et proposent 100 billets , dont 30 sont gagnants.
Parmi les billets du club $A$ on a 1 lot de 250 euros , 4 lots de 50 euros et 25 lots de 2 euros.
Pour le club $B$ on a également 100 billets dont 50 sont gagnants et répartis de la façon suivante: 5 lots de 20 euros , 10 lots de 15 euros, 15 lots de 10 euros et 20 lots de 5 euros.
Dans chaque tombola , le prix du billet est de 5 euros.
On note X et Y les gains algébriques respectifs liés à l'achat d'un billet du club $A$ et du club $B$.
On note $G$ l'événement "le billet acheté est un billet gagnant".
  1. Déterminer la probabilité d'avoir un billet gagnant avec le club $A$ puis avec le club $B$.
    La probabilité d'avoir un billet gagnant est $\dfrac{\text{nombre de billets gagnants}}{ \text{nombre total de billets}}$
    Avec le club $A$ on a un total de 100 billets dont $1+4+25=30$ sont gagnants.
    donc $p(G)=\dfrac{30}{100}=0,3$

    La probabilité d'avoir un billet gagnant avec le club $A$ est $p(G)=0,3$.


    Avec le club $B$ on a un total de 100 billets dont $50$ sont gagnants.
    donc $p(G)=\dfrac{50}{100}=0,5$

    La probabilité d'avoir un billet gagnant avec le club $B$ est $p(G)=0,5$.
  2. Quelle est la probabilité de gagner au moins cinq euros pour chacune des tombolas?
    on a misé 5 euros au départ donc pour gagner au moins cinq euros il faut avoir un billet d'un montant supérieur ou égal à 10 euros.
    Pour gagner au moins 5 euros, il faut un billet gagnant d'un montant supérieur ou égal à 10 euros puisqu'on achète le billet 5 euros au départ.
    Avec le club $A$:
    Avec le club $A$, il y a 5 billets d'un montant supérieur ou égal à 10 euros ( 1 lot de 250 euros , 4 lots de 50 euros)
    donc $p(X\geq 5)=\dfrac{5}{100}=0,05$
    Avec le club $B$:
    Avec le club $B$, il y a $5+10+15=30$ billets d'un montant supérieur ou égal à 10 euros ( 5 lots de 20 euros , 10 lots de 15 euros, 15 lots de 10 euros)
    donc $p(Y\geq 5)=\dfrac{30}{100}=0,3$

    donc la probabilité de gagner au moins cinq euros est $p(X\geq 5)=0,05$ avec le club $A$ et de $p(Y\geq 5)=0,3$ avec le club $B$.
  3. Quelle est la probabilité de gagner au moins 40 euros pour chacune des tombolas?
    on a misé 5 euros au départ donc pour gagner au moins cinq euros il faut avoir un billet d'un montant supérieur ou égal à 45 euros.
  4. Déterminer la loi de probabilité de $X$ puis de $Y$ et calculer l'espérance de chacune d'elle.
    Identifier les différentes valeurs possibles de $X$ en tenant compte de la mise, par exemple, si on a un billet gagnant à 250 euros, le gain final sera de $250-5=245$ euros
  5. Calculer l'écart type dans chacun des deux cas afin de déterminer quelle tombola choisir pour que le gain soit proche de la valeur espérée.
    $V(x)=x_1^2p_1+x_2^2p_2+....+x_n^2p_n-(E(X)^2$


 
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