Exercice 922

Jeu de la roulette au casino

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Gain du joueur en fonction de sa mise de départ
Recherche de la loi de probabilité d'une variable aléatoire et calcul de l'espérance
Calcul du gain moyen

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Une roulette de casino contient 37 cases numérotées de 0 à 36.
  1. Le joueur mise sur un numéro (le jeton est sur une case du tapis de jeu: il mise un plein)
    Si ce numéro sort, il récupère 36 fois sa mise (35 fois sa mise plus sa mise) sinon, il perd sa mise.
    Quelle est l'espérance du gain du joueur? (son bénéfice après le jeu)
    Attention, son bénéfice net est de 35 fois sa mise s'il gagne)36 fois sa mise et il faut enlever sa mise de départ pour obtenir son gain final)
    On note S l'événement:\og Le numéro sorti est celui sur lequel le joueur a misé \fg.
    La variable aléatoire $X$ qui associe le gain du joueur prend les valeurs suivantes:
    $x_1=-1$ si le joueur perd et $x_2=35$ si le joueur gagne.
    La loi de probabilité de $X$ est donnée par:

    Espérance: $E(X)=-1\times \dfrac{36}{37}+35\times \dfrac{1}{37}=\dfrac{-1}{37}$

    Le joueur peut espérer perdre en moyenne $\dfrac{1}{37}$ fois sa mise sur un grand nombre de parties.
  2. On peut aussi miser sur pair ou impair.
    Le joueur mise cette fois sur pair et il récupère deux fois sa mise. (1 fois as mise plus sa mise)
    Quelle est l'espérance du gain du joueur?
    de 0 à 36, il y a 19 chiffres pairs et 18 chiffres impairs
  3. Que devient son espérance de gain s'il mise finalement sur impair?
    de 0 à 36, il y a 19 chiffres pairs et 18 chiffres impairs


 
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