Exercice 928

Tirages successifs dans une urne avec puis sans remise

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Deux tirages successifs dans une urne avec remise puis sans remise
Calcul de l'espérance d'une variable aléatoire
Recherche du nombre de boules maximum pour que l'espérance soit positive.

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On place dans une urne $n$ boules indiscernables au toucher.
Deux sont blanches et les autres sont noires.

On gagne 20 points si on tire une boule blanche et on perd 5 points si on tire une boule noire
Pour la suite, note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points à l'issue des tirages.
  1. On effectue deux tirages successifs avec remise dans l'urne.
    Déterminer la loi de probabilité de $X$ puis calculer sont espérance.
    En déduire le nombre minimum de boules pour que le jeu soit favorable au joueur, c'est à dire que le nombre de points obtenus soit strictement positif.
    On peu construire un arbre illustrant les différents cas possibles en notant $B_1$:"le joueur tire une boule blanche au premier tirage" et $B_2$:" le joueur tire une boule blanche au second tirage"
    Il y a remise dans l'urne donc les deux événements sont indépendants
    Déterminer les valeurs possibles pour $X$ (trois valeurs)
    A chaque valeur de $X$, identifier les événements correspondants et leurs probabilités
    Compléter le tableau de la loi de probabilité de $X$ avec les trois cas possibles
    Soit les événements:
    $B_1$:"le joueur tire une boule blanche au premier tirage"
    et $B_2$:" le joueur tire une boule blanche au second tirage"
    A chaque tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est donc de
    $\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas total}}=\dfrac{2}{n}$
    On a alors l'arbre suivant avec les probabilités correspondantes:

    $X$ peut donc prendre les valeurs suivantes:
    Pour l'événement $B_1\cap B_2$: "le joueur tire deux boules blanches successivement", $X$ prend la valeur $x_1=20+20=40$
    Pour les événements $B_1\cap \overline{B_2}$ ou bien $\overline{B_1}\cap B_2$, c'est à dire "le joueur tire deux boules de couleurs différentes", $X$ prend la valeur $x_2=20-5=15$
    Pour l'événement $\overline{B_1} \cap \overline {B_2}$: "le joueur tire deux boules noires successivement", $X$ prend la valeur $x_3=-5-5=-10$
    Les probabilités sont les suivantes:
    $p(B_1\cap B_2)=\dfrac{2}{n}\times \dfrac{2}{n}=\dfrac{4}{n^2}$

    Rappel: $p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
    et si $A$ et $B$ sont incompatibles, on a $p(A\cap B)=0$ soit $p(A \cup B)=p(A)+p(B)$
    On a $B_1\cap \overline{B_2}$ et $\overline{B_1}\cap B_2$ incompatibles, en effet on ne peut avoir simultanément une boule blanche et une boule noire au premier tirage
    $p\left( (B_1\cap \overline{B_2}) \cup (\overline{B_1}\cap B_2)\right)=p(B_1\cap \overline{B_2}) + (\overline{B_1}\cap B_2)$
    $\phantom{p\left( (B_1\cap \overline{B_2}) \cup (\overline{B_1}\cap B_2)\right)}=\dfrac{2}{n}\times\dfrac{n-2}{n}+\dfrac{n-2}{n}\times\dfrac{2}{n}$
    $\phantom{p\left( (B_1\cap \overline{B_2}) \cup (\overline{B_1}\cap B_2)\right)}=2\times \dfrac{2n-4}{n^2} $
    $\phantom{p\left( (B_1\cap \overline{B_2}) \cup (\overline{B_1}\cap B_2)\right)}=\dfrac{4n-8}{n^2}$
    $p(\overline{B_1} \cap\overline {B_2})=\dfrac{n-2}{n}\times \dfrac{n-2}{n}=\dfrac{(n-2)^2}{n^2}=\dfrac{n^2-4n+4}{n^2}$
    La loi de probabilité de $X$ est donc la suivante:

    $E(X)=40\times \dfrac{4}{n^2}+15\times \dfrac{4n-8}{n^2}-10\times \dfrac{n^2-4n+4}{n^2}$

    $\phantom{E(X)}=\dfrac{160+60n-120-10n^2+40n-40}{n^2}$

    $\phantom{E(X)}=\dfrac{-10n^2+100n}{n^2}$

    $\phantom{E(X)}=\dfrac{n(-10n+100)}{n^2}$

    $\phantom{E(X)}=\dfrac{-10n+100}{n}$

    $E(X)=\dfrac{-10n+100}{n}$

    Sur un grand nombre de parties, le nombre de points du joueur sera en moyenne de $\dfrac{-10n+100}{n}$ points.
    Il faut donc résoudre $E(X)>0$
    Le dénominateur $n$ est strictement positif donc $E(X)$ est du signe de $-10n+100$
    $-10n+100 >0 \Longleftrightarrow -10n>-100 \Longleftrightarrow n<10$ On a donc $E(X)>0 $ pour $x <10$
    donc le jeu est favorable au joueur si $n<10$ et $n $ est un entier donc $n\leq 9$

    Le jeu est favorable au joueur s'il y a au maximum 9 boules
  2. On reprend le jeu précédent mais cette fois, on effectue deux tirages successifs sans remise. Déterminer la loi de probabilité de $X$ puis calculer sont espérance.
    En déduire le nombre minimum de boules pour que le jeu soit favorable au joueur, c'est à dire que le nombre de points obtenus soit strictement positif.
    On peu construire un arbre illustrant les différents cas possibles en notant $B_1$:"le joueur tire une boule blanche au premier tirage" et $B_2$:" le joueur tire une boule blanche au second tirage"
    Il n'y a pas remise dans l'urne donc au second tirage , il y a $n-1$ boules dans l'urne


 
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