Exercice 929

Espérance du gain dans un tirage avec un jeu de cartes

Contenu

Loi de probabilité d'une variable aléatoire
Calcul de l'espérance
Recherche de la mise pour que le jeu soit favorable au joueur.

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Dans un jeu, le joueur décide de miser une somme de $p$ euros puis tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes (qui contient donc 4 as, 4 rois, 4 dames et 4 valets plus les autres cartes qui ne sont pas des figures).
Si la carte tirée est:
- un as, le joueur gagne 10 fois sa mise.
- un roi, le joueur gagne 5 fois sa mise.
- une dame ou un valet un valet, le joueur gagne 2 fois sa mise.
Dans les autres cas, le joueur récupère sa mise mais perd 10 euros.
On considère que chaque carte a la même probabilité d'être tirée et on nomme $G$ la variable aléatoire donnant bénéfice du joueur après le jeu (en tenant compte de la mise).
  1. Déterminer la loi de probabilité de $G$.
    Identifier les différentes valeurs possibles de $G$ en tenant compte de la mise, par exemple, pour un as, le bénéfice du joueur sera de $10p-p$ euros....
    On a donc quatre cas possibles:
    -Si le joueur tire un as, il gagne $g_1=10p-p=9p$
    - Si le joueur tire un roi, le joueur gagne $g_2=5p-p=4p$ euros
    -Si le joueur tire une dame ou un valet, le joueur gagne $g_3=2p-p=p$ euros
    -Si le joueur tire une autre carte, il perd 2 euros soit un bénéfice de $g_4=-10$ euros.
    La loi de probabilité de $G$ est donc la suivante:

  2. Calculer $E(G)$ en fonction de $p$.
  3. En déduire la mise minimale que doit faire un joueur faisant un grand nombre de parties pour que le jeu lui soit favorable. (il ne perd pas d'argent après avoir joué ces parties)
    Le bénéfice moyen du joueur sur un grand nombre de parties est $E(G)$ donc il faut résoudre $E(G)\geq 0$


 
Haut de page