Exercice 215

Etude des variations d'une fonction pòlynôme de degré 3

Contenu

Calcul de la dérivée
Etude du signe d'un polynôme de degré 2
Tableau de variation d'une fonction

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La fonction $f$ est définie par $f(x)=x³+2x²-4x+3$ et on note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
  1. Calculer $f'(x)$ et étudier le signe de sa dérivée
    Pour étudier le signe de la dérivée, il faut chercher les racines du polynôme.
    $f'(x)=3x²+2\times 2x =3x²+4x-4$
    Recherche des racines de $3x²+4x-4$:
    $\Delta=4²-4\times 3\times (-4)=16+48=64$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-8}{6}=-2$
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+8}{6}=\dfrac{2}{3}$
    Signe de $3x²+4x-4$:
    $3x²+4x-4$ est du signe de $a=3$ coefficient de $x²$:

    penser à contrôler le calcul de $f'(x)$ avec la calculatrice

    MENU TABLE et saisir Y1$=x^3+2x^2-4x+3$ en activant l'option DERIVATIVE (setup MENU, voir aussi fiche méthode dérivées et calculatrice)
    Penser aussi à contrôler les racines obtenues pour $f'(x)$ avec le MENU EQUA puis PLY degré 2 et saisir les coefficients $a=3$, $b=4$ et $c=-4$
  2. En déduire le tableau de variation de $f$
    $f$ est strictement croissante quand $f'(x)>0$
    ne pas oublier de calculer les extremums locaux (valeurs de $f(x)$ aux extrémités des fñèches)


 
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