Exercice 217

Détermination de f

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Calcul de la dérivée d'un quotient
Détermination de l'expression de fèn écrivant un système d'équations
Etude des variations de f

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La fonction $f$ est définie sur $]-1;+\infty[$ et on note $C_f$ sa représentation graphique.
L'axe des abscisses est la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1.
  1. Justifier que $f(1)=0$ et $f'(1)=0$.
    Une droite parallèle à l'axe des abscisses a pour coefficient directeur 0
    si le point $A$ d'abscisse $a$ appartient à $C_f$ alors on a $y_A=f(a)$
    L'axe des abscisses est la tangente à $C_f$ au point d'abscisse 1
    donc le point de la courbe d'abscisse 1 appartient à cette tangente d'équation $y=0$ soit $f(1)=0$
    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1
    qui est l'axe des abscisses et a donc pour coefficient directeur 0
    donc $f'(1)=0$
  2. La fonction $f$ est de la forme $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+1}{x+1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
    Montrer que $f '(x)=\dfrac{ax^2+2ax+b-1}{(x+1)^2}$
    (ax^2+bx+c)'=2ax+b+0$
  3. En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
    Utiliser les informations de la question 1 soit $f(1)=0$ et $f~'(1)=0$ afin d'écrire un système d'équations d'inconnues $a$ et $b$
  4. Pour la suite, on suppose $a=1$ et $b=-2$
    Etudier les variations de $f$
    il faut étudier le signe de $f~'(x)$.


 
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