Exercice 222

Continuité-lecture du tableau de variation

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Déterminer si une fonction est continue par lecture du tableau de variation
Théorème de la valeur intermédiaire

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On donne le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[-3;5]$
Dans chaque cas, dire si $f$ est continue sur $[-3;5]$.
Dire si on peut appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur $[-3;5]$.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant la réponse.
  1. tableau 1
    Pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$, il faut utiliser le maximum de $f$ sur $[-3;5]$
    Les flèches du tableau de variation traduisent la continuité de $f$

    donc $f$ est continue sur $[-3;5]$

    $f$ est strictement croissante sur $[-3;2]$ est strictement décroissante sur $[2;5]$ donc $f$ n'est pas monotone sur $[-3;5]$

    On ne peut pas appliquer le théorème de la valeur intermédiaire sur $[-3;5]$

    Sur $[-3;5]$, le maximum de $f$ est $f(2)=-1$ donc pour tout $x\in [-3;5]$, on a $f(x)\leq f(2)$ soit $f(x)\leq -1<0$

    donc l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $[-3;5]$.

    Remarque
    La courbe représentative de $f$ est située en-dessous de l'axe des abscisses.
  2. tableau 2

    Utiliser le minimum de $f$ pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$
  3. tableau 3

    Utiliser le théorème de la valeur intermédiaire pour justifier le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$


 
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