Exercice 224

Polynôme de degré 3

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Calcul de la dérivée et variations d'une fonction polynôme de degré 3
Théorème de la valeur intermédiaire pour déterminer le nombre de solutions d'une équation
Encadrement de la solution avec la calculatrice

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On considère la fonction $f$ définie sur $[0;5]$ par $f(x)=x^3-2x^2+3x-1$.
  1. Calculer $f'(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$.
    Pour déterminer les variations de la fonction $f$, il faut étudier les signe de $f'(x)$
    Pour étudier le signe d'un polynôme de degré 2, il faut chercher ses racines.
    $f'(x)=3\times x^2-2\times 2x+3+0=3x^2-4x+3$ Rappel: Pour étudier les variations de $f$, il faut déterminer le signe de sa dérivée.
    Etude du signe de $f'(x)=3x^2-4x+3$ sur $[0;5]$:
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 3 \times 3=16-36=-20$
    Il n'y a pas de racines et donc $f'(x)$ est du signe du coefficient $a=3$ de $x^2$ soit $f'(x)>0$
    $f(0)=0^3-2\times 0^2+3\times 0-1=-1$ et $f(5)=5^3-2\times 5^2+3\times 5-1=89$
    On a donc:
  2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $[0;5]$.
    Pour justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution, il faut:
    -$f$ continue sur I (intervalle de $\mathbb{R}$)
    -$f$ strictement croissante ou strictement décroissante (c'est à dire $f$ monotone) sur I
    -0 compris entre $f(a)$ et $f(b)$ avec $a$ et $b$ dans l'intervalle I
  3. Avec la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x)=0$.
    Utiliser le MENU TABLE de la calculatrice en saisissant la fonction $f$ puis en paramétrant dans SET XSTART=0, XEND=5 et STEP=1, puis en encadrant $\alpha$ à l'unité, modifier XSTART , XEND en conséquence et STEP=0,1 et ainsi de suite jusqu'à la précision du centième.
  4. En déduire la valeur arrondie aux dixièmes de $\alpha$.


 
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