Exercice 229

Lecture d'un tableau de variation et encadrement de la solution

Contenu

- déterminer le nombre de solutions d'une équation à partir du tableau de variations
- théorème de la valeur intermédiaire
- encadrement de la solution à la calculatrice
- signe de f(x)

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La fonction $f$ est définie sur $[1;6]$ et on donne ci-dessous sont tableau de variation.
  1. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ en justifiant la réponse.
    La fonction n'est pas monotone sur $[1;6]$ donc il faut distinguer deux cas: $x\in[1;2]$ et $x\in[2;6]$
    - Sur $[1;2]$:
    Le maximum de $f$ est $-2$ atteint en $x=1$ donc $f(x)\leq -2 < 0$
    donc l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $[1;2]$.
    -Sur $[2;6]$:
    $f$ est continue (indiqué par la flèche du sens de variation)
    $f$ est strictement croissante
    $0$ est compris entre $f(2)=-4$ et $f(6)=22$
    donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution sur $[2;6]$.

    L'équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution sur $[1;6]$.

    On notera cette solution $\alpha$ pour la suite.
  2. La fonction $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{2x^3-7x^2-4}{x+2}$.
    Avec la calculatrice et en justifiant les valeurs trouvées, donner un encadrement de la ou des solutions de l'équation $f(x)=0$ d'amplitude $0,01$ et en déduire la valeur arrondie aux dixièmes.
    On utilise le MENU TABLE de la calculatrice par exemple
  3. En déduire tableau de signes de $f(x)$.
    On a $f(\alpha)=0$ et $f(x)>0$ quand la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.


 
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