Exercice 323

Fonction exponentielle de base q

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Variations de la fonction exponnentielle de base q
Représentation graphique
Théorème de la valeur intermédiaire-solutions de f(x)=5

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{1}{2^x}+3$.
  1. Déterminer le sens de variation de $f$.
    Déterminer le sens de variation de la fonction $x\longmapsto \dfrac{1}{2^x}$ et en déduire le sens de variation de $f$.
    La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{1}{2^x}$ est de la forme $x \longmapsto q^x$ avec $q=\dfrac{1}{2}$
    donc $0< q < 1$
    donc la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
    On a $f(x)=g(x)+3$

    donc $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$
  2. On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{1}{2^x}$.
    Sans faire de tableau de valeurs, en déduire la représentation graphique de $f$.
    Pour tout réel $x$, on a $f(x)=g(x)+3$ donc on ajoute 3 aux ordonnées pour obtenir la représentation graphique de $f$
  3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x)=5$ et donner la (les ) solution(s).
    Il faut utiliser le théorème de la valeur intermédiaire et trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que 5 soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$


 
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