Exercice 3310

Identification des coefficients de f à partir des données graphiques

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Lecture graphique du nombre dérivé
Calcul d'une dérivée en utilisant la dérivée d'un produit
Identification des coefficients de f à partir des données graphiques

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(ax+b)e^{-x}$
On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal notée $C_f$.
T est la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
  1. Par lecture graphique, déterminer $f(0)$ puis $f'(0)$
    Il faut déterminer graphiquement le coefficient directeur de T en utilisant par exemple deux points A et B de T.
    Rappel sur le coefficient directeur d'une droite (AB): $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
    Graphiquement, la courbe $C_f$ passe par le point A de coordonnées $(0;1)$ donc $f(0)=1$
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite T passant par les points A et B avec $B(-0,5;0,5)$
    donc $f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{0,5-1}{-0,5-0}=\dfrac{-0,5}{-0,5}=1$

    $f(0)=1$ et $f'(0)=1$
  2. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^{-x}$
  3. En déduire la valeur de $a$ et de $b$.
    Il faut utiliser le fait que $f(0)=(a\times 0+b)e^{0}$ et que graphiquement, on a obtenu $f(0)=1$
    De même, exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$ et $b$ et utiliser la question 1.


 
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