Exercice 3311

Identification de s coefficients de la fonction (d'après BAC PONDICHERY 2011)

Contenu

Lecture graphique du nombre dérivé
Calcul de la dérivée
Equation d'une tangente
Identification des coefficients de la fonction

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La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
On note $f~'$ la fonction dérivée de $f$.
- La tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A(0 ; 3) passe par le point B(1 ; 5).

  1. En utilisant les données et le graphique, préciser la valeur du réel $f(0)$ et la valeur du réel $f~'(0)$.
    Déterminer le coefficient directeur de la tangente T.
    La courbe $\mathcal{C}_{f}$ au passe par le point A(0 ; 3)
    donc $f(=)=3$
    $f~'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 0
    T passe par A(0;3) et B(1;5)
    donc $f~'(=)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{5-3}{1-0}=2$

    $f(0)=3$ et $f~'(0)=2$
  2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A .
    L'équation réduite de T est de la forme $y=mx+p$ avec $m$ coefficient directeur et $p$ ordonnée à l'origine
    $m=f~'(0)$ et les coordonnées du point A doivent vérifier $y_A=mx_A+p$
  3. On admet que la fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel $x$, par une expression de la forme $f(x) = 1 + \dfrac{ax + b}{e^x}$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
    Déterminer l'expression de $f~'(x)$ en fonction de $a$, de $b$ et de $x$.
    On pose $u(x)=ax+b$ et $v(x)=e^x$ pour utiliser la formule de la dérivée d'un quotient
  4. A l'aide des résultats de la question 1. a., démontrer que pour tout réel $x$, on a $f(x) = 1 + \dfrac{4x+2}{e^x}$
    On a $f(0)=3$ et $f(0)= 1 + \dfrac{a\times 0 +b}{e^0}$
    De même, on a $f~'(0)=2$ et $f~'(0)=\dfrac{e^0(- a\times 0+a-b )}{( e^0 )^2}$
    rappel $e^0=1$


 
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