Exercice 3312

Variation d'une fonction avec exponentielle-théorème de la valeur intermédiaire

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Calcul de la dérivée
Nombre de solutions de l'équation f(x)=100-théorème de la valeur intermédiaire

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Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-2e^{-x}-1$
  1. Etudier les variations de la fonction $f$.
    On a $(e^x)'=e^x$ et $(e^{-x})'=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    donc $f'(x)=e^x-2\times (-e^{-x})=e^x+2e^{-x}$

    $f'(x)=e^x+2e^{-x}$

    $e^x>0$ pour tout réel $x$ donc $e^{-x}>0$
    et par somme $f'(x)>0$

    donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
  2. Dresser le tableau de variation de $f$.
  3. Montrer que l'équation $f(x)=100$ admet une solution unique sur $\mathbb{R}$ et en donner un encadrement d'amplitude une unité.


 
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