Exercice 334

Calculs de dérivées avec exponentielle u(x)

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Dérivée de exponentielle(u)
Utilsation des formules de dérivation d'un produit ou d'un quotient

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Dans chaque cas, calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R}$
  1. $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$
    On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$
    On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$
    $f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x(e^x+1)-e^xe^x}{(e^x+1)^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^xe^x+e^x-e^xe^x}{(e^x+1)^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}$


    $f~'(x)=\dfrac{e^x}{(e^x+1)^2}$
  2. $f(x)=x^2e^{-x+2}$
    On pose $u(x)=x^2$ et on a $v(x)=e^{-x+2}$
    $(uv)'=u'v+uv'$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2+1}{e^{2x}}$
    On pose $u(x)=x^2+1$ et $v'(x)=e^{2x}$
    $(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$


 
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