Exercice 335

Calculs de dérivées avec exponentielle - étude des variations

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Calcul de la dérivée d'une fonction avec exponentielle
Etude des variations

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Dans chaque cas, calculer la dérivée des fonctions suivantes définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ et donner le sens de variation de la fonction
  1. $f(x)=3xe^x$
    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^x$
    Pour étudier le signe de $f~'(x)$, penser au fait que $e^x>0$ pour tout réel $x$.
    On pose $u(x)=3x$ et $v(x)=e^x$
    et on a $u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
    $f~'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3e^x+3xe^x=3e^x(1+x)$
    Pour tout réel $x$, $e^x>0$
    donc $f~'(x)$ est du signe de $1+x$
    $1+x>0 \Longleftrightarrow x>-1$
    donc $f~'(x)>0$ sur $]-1;+\infty[$
    et donc $f$ est strictement croissante sur $]-1;+\infty[$

    $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-1[$ et strictement croissante sur $]-1;+\infty[$

    Courbe représentative de $f$ donnée à titre indicatif:

    Remarque
    Penser à contrôler le calcul de $f~'(x)$ avec le MENU TABLE de la calculatrice (voir fiche méthode chap2 Contrôler le calcul d'une dérivée avec la calculatrice)
    On peut ensuite tracer la courbe représentative de $f$ sur la calculatrice pour contrôler les variations
  2. $f(x)=\dfrac{3e^x}{x^2+2}$
    On pose $u(x)=3e^x$ et on a $v(x)=x^2+2$
    $(uv)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
    Factoriser le numérateur par $e^x$ pour étudier le signe de $f~'(x)$


 
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