Exercice 336

Variations et convexité d'une fonction avec exponentielle(u)

Contenu

Calcul de la dérivée et étude des variations d'une fonction avec exponentielle(u)
Calcul de la dérivée seconde et étude de la convexité
Recherche du nombre de solutions de l'équation f(x)=3-théorème de la valeur intermédiaire

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2e^{0,5x-3}$.
  1. Calculer $f~'(x)$ et étudier les variations de $f$.
    On pose $u(x)=0,5x-3$
    On pose $u(x)=0,5x-3$ et on a $u'(x)=0,5$
    $f~'(x)=2\times u'(x)e^{u(x)}=2\times 0,5\times e^{0,5x-3}=e^{0,5x-3}$
    Pour tout réel $x$, on a $e^{0,5x-3}>0$
    donc $f~'(x)>0$

    donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$
  2. Calculer la dérivée seconde $f~''$ de $f$ et en déduire la convexité de $f$.
    On pose $u(x)=0,5x-3$
    Il faut déterminer le signe de $f~''(x)$ donc les variations de $f~'$ pour déterminer la convexité de $f$
  3. En déduire le nombre de solutions de l'équation $2e^{0,5x-3}=3$.
    Il faut utiliser le théorème de la valeur intermédiaire pour justifier que l'équation $f(x)=3$ admet une seule solution.
    Avec le MENU TABLE de la calculatrice, chercher deux réels $a$ et $b$ tels que 3 soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$.


 
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