Exercice 432

Equations (ensemble de définition donné)

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Résolution d'équations en utilisant le propriétés du logarithme
Ensemble de définition donné dans l'énoncé

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Résoudre les équations suivantes sur $D$
  1. $2ln(x-1)=ln(4)$ et $D=]1;+\infty[$
    Il faut utiliser $nln(a)=ln(a^2)$ avec $a>0$
    et se ramener à une égalité de la forme $ln(a)=ln(b)$ avec $a>0$ et $b>0$
    On résout sur $D=]1;+\infty[$
    Pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$, on a:
    $2ln(x-1)=ln(4) \Longleftrightarrow ln[(x-1)^2]=ln(4)$

    $\phantom{2ln(x-1)=ln(4)} \Longleftrightarrow ln[(x-1)^2]=ln(4)$

    $\phantom{2ln(x-1)=ln(4)} \Longleftrightarrow (x-1)^2=4$

    $\phantom{2ln(x-1)=ln(4)} \Longleftrightarrow x-1=2$ ou $x-1=-2$ ($a^2=4 \Longleftrightarrow a=\sqrt{4}$ ou $a=-\sqrt{4}$)

    $\phantom{2ln(x-1)=ln(4)} \Longleftrightarrow x=3$ ou $x=-1$
    Penser à vérifier que la solution appartient à $D$.

    $-1\notin ]1;+\infty[$ et $3\in ]1;+\infty[$

    donc $S=\left\lbrace 3 \right\rbrace$
  2. $ln(x-2)-ln(2)=ln(x)$ et $D=]2;+\infty[$
    Il faut utiliser écrire le membre de gauche avec un seul logarithme


 
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