Exercice 437

Inéquations avec des puissances - erreurs fréquentes

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Résolution d'inéquations avec des puissances en utilisant le logarithme
Erreurs fréquentes commises par les élèves

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Les élèves avaient pour consigne de résoudre dans $\mathbb{N}$ l'inéquation suivante: $0,8^n < 0,001$.
  1. Le premier à écrit:
    $0,8^n < 0,001 \Longleftrightarrow ln(0,8^n) < ln(0,001)$

    $\phantom{0,8^n < 0,001} \Longleftrightarrow nln(0,8) < ln(0,001)$

    $\phantom{0,8^n < 0,001} \Longleftrightarrow n < \dfrac{ln(0,001)}{ln(0,8)}$
    or $\dfrac{ln(0,001)}{ln(0,8)}\approx 30,96$ et $n$ est un entier
    donc il faut $n \leq 30$.
    Est-ce correct? Si non, préciser l'erreur commise.
    $ln(0,8) < 0$
    On ne peut écrire $n < \dfrac{ln(0,001)}{ln(0,8)}$ car $ln(0,8) < 0$
    et quand on divise ou multiplie chaque membre d'une égalité par un même nombre strictement négatif, celle ci change de sens.
    Il fallait donc écrire:
    $ 0,8^n < 0,001 \Longleftrightarrow nln(0,8) < ln(0,001)$
    $\phantom{0,8^n < 0,001} \Longleftrightarrow n > \dfrac{ln(0,001)}{ln(0,8)}$

    or $\dfrac{ln(0,001)}{ln(0,8)}\approx 30,96$ et $n$ est un entier
    donc il faut $n \geq 31$.
  2. Un autre à écrit:
    $0,8^n < 0,001 \Longleftrightarrow ln(0,8^n) < ln(0,001)$

    $\phantom{0,8^n < 0,001} \Longleftrightarrow nln(0,8) < ln(0,001)$

    $\phantom{0,8^n < 0,001} \Longleftrightarrow n > ln \left( \dfrac{0,001}{0,8}\right)$
    or $ln \left( \dfrac{0,001}{0,8}\right)\approx -6,68$ et $n$ est un entier
    donc il faut $n \geq -6$.
    Pour $a > 0$ et $b > 0$, on a $ln(a)-ln(b)=ln \left( \dfrac{a}{b}\right)$


 
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