Exercice 438

Inéquations avec des puissances

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Résolution d'inéquations avec des puissances en utilisant le logarithme

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Résoudre dans $\mathbb{N}$
  1. $2^n>50$
    Il faut utilser le fait que $ln(2^n)>nln(2)$
    $2^n>50 \Longleftrightarrow ln(2^n)>ln(50)$

    $\phantom{2^n>50} \Longleftrightarrow nln(2)>ln(50)$

    $\phantom{2^n>50} \Longleftrightarrow n>\dfrac{ln(50)}{ln(2)}$
    or $\dfrac{ln(50)}{ln(2)}\approx 5,64$ et $n$ est un entier
    donc il faut $n \geq 6$

    Les entiers naturels $n$ tels que $2^n>50$ sont les entiers naturels supérieurs ou égaux à 6.
  2. $0,5^n<0,01$
    Il faut utilser le fait que $ln(0,5^n)=nln(0,5)$
    $ln(0,5)<0$ et une inégalité change de sens si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif.


 
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