Exercice 4410

Etude d'une fonction avec ln, tangente et courbe

Contenu

- recherche de l'ensemble de définition
- calcul d'une dérivée avec un quotient
- tableau de variation
- équation réduite d'une tangente
- courbe

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La fonction $f$ est définie sur $D_f$ par $f(x)=\dfrac{x+ln(x)}{x}$.
  1. Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$.
    Pour que $f$ soit définie il faut que $ln(x)$ soit définit
    $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$

    donc $f$ est définie sur $D_f=]0;+\infty[$
  2. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ puis calculer $f'(x)$.
    On pose $u(x)=x+ln(x)$ et $v(x)=x$
    On pose $u(x)=x+ln(x)$ et $v(x)=x$ dérivables sur $D_f=\mathbb{R}$ avec $v(x)\neq 0$
    donc $f=\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $D_f$.
    On a $u'(x)=1+\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\times x-(x+ln(x))\times 1}{x^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{x+1-x-ln(x)}{x^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{1-ln(x)}{x^2}$

    $f$ est dérivable sur $D_f=]0;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1-ln(x)}{x^2}$

    Remarque
    Penser à contrôler le calcul de la dérivée avec la calculatrice (MENU TABLE) en saisissant Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ pour vérifier que Y'1 et Y2 ont le même tableau de valeurs (OPTION DERIVATIVE sur ON)
    Voir aussi fiche méthode chapitre 3: contrôler une dérivée avec la calculatrice
  3. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $D_f$.
    Il étudier le signe de $1-ln(x)$
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 1
    Il faut calculer $f'(1)$ et $f(1)$
  5. Tracer la représentation graphique de $f$ et la tangente $T$.
    On utilise le MENU Table de la calculatrice pour placer suffisamment de points et obtenir un tracé précis
    Il faut aussi placer le minimum de $f$ et la tangente en ce point (parallèle à l'axe des abscisses)
  6. Complément: limites
    Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$
    En $+\infty$, on peut écrire $f(x)=\dfrac{x}{x}+\dfrac{ln(x)}{x}=1+\dfrac{ln(x)}{x}$


 
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