Exercice 442

Calcul de dérivées utilisant les formules de dérivation

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Calculs de dérivées avec la fonction ln
Utilisation des formules de dérivation du produit et du quotient

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$f$ est une fonction définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.
Calculer dans chaque cas $f~'(x)$.
  1. $f(x)=\dfrac{ln(x)}{x}$
    On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x$
    On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x$
    et on a $u~'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v~'(x)=1$

    $f~'(x)=\dfrac{u~'(x)v(x)-u(x)v~'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{x} \times x-ln(x)\times 1}{x^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{1-ln(x)}{x^2}$

    $f~'(x)=\dfrac{1-ln(x)}{x^2}$
  2. $f(x)=x^2ln(x)$
    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=ln(x)$
  3. $f(x)=(ln(x))^2$
    On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=ln(x)$


 
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